Вопрос старый и очевидный.
В материале, посвящённом подготовке к заданию 6 (http://russkiy-na-5.ru/admin/articles/edit/925), я намеренно дала в задании пример: пять килограмм. Моей целью было привлечь внимание к распространённому заблуждению.
В результате пришло уже несколько писем от коллег, полагающих, что формы Р. п. (пять) грамм, килограмм — ошибочные формы. Считаю, что нужно предложить развёрнутую информацию.
Обе формы Р.п. слов грамм, килограмм верны. Это варианты.

Люди любят сайт «Грамота.ру», вот один из комментариев:
«Но как же правильно - 100 грамм или 100 граммов? Вот ответ нашей справочной службы.
Сегодня допустимы оба варианта. «Старая» норма - 100 граммов. Вот что писал о форме р. п. грамм К. И. Чуковский в книге «Живой как жизнь»: «Теперь мне даже странно вспомнить, как сердило меня на первых порах нынешнее словосочетание: сто грамм. "Не сто грамм, а сто граммов!" - с негодованием выкрикивал я. Но мало-помалу привык, обтерпелся, и теперь эта новая форма кажется мне совершенно нормальной».

А вот АГ 80 —«Русская грамматика» АН СССР, 1980, т.1
(привожу фрагмент целиком, так как другие примеры тоже могут вызвать интерес коллег):
Трудные формы множественного числа имен существительных
К числу форм имен существительных, образование которых может быть связано с определенными затруднениями, следует отнести формы множественного числа именительного падежа (директоры или директора, клапаны или клапана?) и формы множественного числа родительного падежа некоторых существительных (пять граммов и пять грамм, пять апельсинов или пять апельсин?)
1. Формы множественного числа именительного падежа существительных: директоры или директора?

Форма именительного падежа множественного числа существительных проверяется в словарном порядке (по словарю). См. рубрику "Проверка слова" на нашем портале. Обратите внимание: поиск слова в словарях осуществляется по начальной форме (именительный падеж, единственное число)!
Словарная статья читается следующим образом: если в статье нет особых указаний на форму множественного числа (помета мн.), то для образования формы именительного падежа множественного числа используется окончание -и или -ы. Если же требуется иное окончание (или допустимы варианты), то ставится помета: мн. -а. Например:
Словарная статья Как читается
директор, -а, мн. -а, -ов Правильная форма им. п. мн. ч. – директора
слесарь, -я, мн. -и, -ей и -я, -ей Правильные формы им. п. мн. ч. – слесари и слесаря
крем, -а и -у Правильная форма им. п. мн. ч. – кремы
В современном русском литературном языке варианты, колеблющиеся в форме им. п. мн. ч., насчитывают свыше 300 слов. Очагом распространения флексии -а (-я) являются сферы просторечия и профессионального языка. В связи с этим формы на -а, (-я) имеют часто разговорную или профессиональную окраску: договора, слесаря, токаря. Формы же на -ы (-и) более нейтральны и для большинства слов отвечают традиционным нормам литературного языка. Однако в некоторых случаях формы на -а, (-я) уже вытеснили формы на -ы (-и).
Кроме этого, можно запомнить ряд закономерностей, облегчающих выбор флексии (окончания) именительного падежа множественного числа:
Склоняемые существительные среднего рода, начальная форма которых оканчивается на -КО, имеют безударную флексию мн. ч. им. п. -и (личики, перышки, яблоки). Исключение составляют существительные с ударными окончаниями мн. ч.: войска и облака.
Остальные существительные среднего рода в форме мн. ч. принимают окончание -а (-я): болота, поля, моря, окна.
Форма на -а, -я у некоторых слов может быть единственной или преобладающей: бок - бока (боки только во фразеологическом сочетании руки в боки); век - века (веки только во фразеологических сочетаниях в кои-то веки, на веки вечные, во веки веков), глаз - глаза, луг - луга, мех - меха, снег - снега, стог - стога, шелк - шелка.
Формы могут иметь разное значение: тона (о цвете) и тоны (о звуке), хлеба (о злаках) и хлебы (о печеном хлебе), цеха и цехи (на предприятии) и цехи (средневековые организации ремесленников).
Формы существительных могут различаться по стилистической окраске: борта и устар. борты; дома и устар. домы; корма и устар. кормы; рога и устар. и поэт. роги; сорта и устар. сорты; тома и устар. томы, а также громы и поэт. грома; гробы и поэт. гроба.
Наконец, формы существительных могут быть равноправными и взаимозаменяемыми: года и годы (но: годы юности, тяжелых лишений; девяностые, нулевые годы), цеха и цехи (на предприятии), шторма и штормы.
Чтобы решить вопрос о статусе "спорной" формы слова (ненормативная, вариантная, стилистически окрашенная и др.), в любом случае нужно обратиться к словарю.
Нестандартно множественное число образуется у слов ребенок - дети, человек - люди, дно - донья и некоторых других.
2. Формы множественного числа родительного падежа существительных: пять граммов или пять грамм?

Для большей части существительных мужского рода, в начальной форме оканчивающихся на твердый согласный (апельсин, помидор, мухомор, компьютер, носок), характерно окончание -ов в форме родительного падежа множественного числа: апельсинов, помидоров, мухоморов, компьютеров, носков и т. д. Из этого правила можно выделить обширный ряд исключений - подобных существительных, но имеющих в форме родительного падежа множественного числа нулевое окончание: один чулок - нет чулок, один осетин - пятеро осетин, один грамм - пять граммов и пять грамм и т. п. К числу таких слов относятся:
Названия людей по национальности и по принадлежности к воинским соединениям, преимущественно употребляющиеся в формах множественного числа в собирательном значении: мадьяры - мадьяр, туркмены - туркмен, гардемарины - гардемаринов и гардемарин, партизаны - партизан, солдаты - солдат; сюда же относится форма р. п. мн. ч. человек.
Названия парных предметов: ботинки - ботинок, глаза - глаз, манжеты - манжет, погоны - погон, чулки - чулок, эполеты - эполет, сапоги - сапог.
Названия мер и единиц измерения: 220 вольт, 1000 ватт, 5 ампер, 500 гигабайт. Если же такие названия употребляются вне "измерительного" контекста (иначе говоря, форма родительного падежа не является счетной), то используется окончание -ов: жить без избыточных килограммов, не хватает гигабайтов.
Нужно отметить, что названия плодов, фруктов и овощей, представляющие собой существительные мужского рода, в начальной форме оканчивающиеся на твердый согласный (апельсин, баклажан, помидор, мандарин), в форме родительного падежа мн. ч. имеют окончание -ов: пять апельсинов, килограмм баклажанов, Новый год без мандаринов, салат из помидоров.
Для некоторых существительных образование форм мн. ч. род. п. затруднено; это слова мечта, мольба, башка. Напротив, слова щец и дровец не имеют других форм, кроме формы мн. ч. род. падежа.
См.: "Русская грамматика", М., 1980.

А это замечательный словарь: С. Н. Борунова, В. Л. Воронцова, Н. А. Еськова.
Орфоэпический словарь русского языка. Произношение, ударение, грамматические формы. АН СССР Под ред. Р.И.Аванесова (любое издание).
У меня издание 1988 г., стр.110, а также п-ф 5 на стр. 689 (специально о счетных формах).
Здесь тоже говорится, что в сочетании с количественными числительными обе формы верны.